差分方程数模课的一道练习题——差分方程暴力求通项的极致？原本这种苦人力的方式只是起训练作用，但含复数解的三角函数转换和欧拉公式的运用，使这题有浅记录一下的必要。

求解特征根

题目如下

它的递推关系很好建立：（通过三角形的重心性质） xn+3=xn+xn+1+xn+23,yn+3=yn+yn+1+yn+23 x_{n+3}=\frac{x_n+x_{n+1}+x_{n+2}}{3},\qquad y_{n+3}=\frac{y_n+y_{n+1}+y_{n+2}}{3} 运用差分方程1中所学到的假设方法，设xn=λnx_n=\lambda^n，则原等式两边同时消去λn\lambda^n得： 3λ3=λ2+λ+1 3\lambda^3=\lambda^2+\lambda+1 易看出λ1=1\lambda_1=1是该特征方程的一个解，按照解三次方程的方法，移项，提出一个(λ−1)(\lambda-1)得： (λ−1)(3λ2+2λ+1)=0 (\lambda-1)(3\lambda^2+2\lambda+1)=0 通过后面括号的式子，得出λ\lambda的另两个复数解： λ2=−1+i23,λ3=−1−i23 \lambda_2=\frac{-1+i\sqrt[]{2}}{3},\lambda_3=\frac{-1-i\sqrt[]{2}}{3} 于是可以得出：

复数解化三角函数

这时我们来分析一下，三角形的重心坐标一直在实数坐标系上迭代，其特解一定为实数（不是复数），因而我们需要得出两个复数解的n次方后得到的实数是什么，即如何消去虚数部分。n次方的结果我们难以计算，且考虑到三角函数具有特殊的0,1性质，我决定将复数解转化为三角函数形式进行后续处理。 (−1+i23)n=(13)n(cosθ+isinθ)n=(13)n(cos(nθ)+isin(nθ)) (\frac{-1+i\sqrt[]{2}}{3})^n=(\frac{1}{\sqrt[]{3}})^n(cos\theta+isin\theta)^n=(\frac{1}{\sqrt[]{3}})^n(cos(n\theta)+isin(n\theta)) 其中： cosθ=−13,sinθ=23 cos\theta=-\frac{1}{\sqrt[]{3}},sin\theta=\frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{3}} 前一个等式变化属于高中常用的三角变换，也就是复数解化三角函数的技巧所在。

棣莫弗定理

后面一个等式变化则用到了欧拉公式，先介绍一下欧拉公式的内容：

eix=cosx+isinxe^{ix}=cosx+isinx

(eix)n=einx(e^{ix})^n=e^{inx}

ei(nx)=cos(nx)+isin(nx)e^{i(nx)}=cos(nx)+isin(nx)

欧拉公式的证明并不难，把等式两边都泰勒展开即可证出相等。

对本题，先将三角函数收成eixe^{ix}，再n次方之后再展开，就完成了等式变换，这个等式就被称为棣莫弗定理。

留给访问者

但很可惜，即使化成最后的三角函数形式，我也无法看出最后的实数解到底是什么样子的。

解答中是这样说的：

这个《通过仔细的计算》之后得到实数解着实太过玄学，得出通解后，带入初始数据x1,x2,x3x_1,x_2,x_3（对应n=1,2,3n=1,2,3）即可解得特解，而后得出重心的每个坐标。而这个实数解的得出就留给访问者来解决吧，学会了欧拉公式和复数解，我已可以鸣金收兵了。